數(shù)學分析原理和方法在中學數(shù)學中的應用論文
隨著中學數(shù)學教育改革的進行，中學數(shù)學課外活動蓬勃開展,在中學活動課程中,學生常常接觸一些中學數(shù)學課本以外的知識,數(shù)學奧林匹克在中學活躍了學習空氣,同時也對中學數(shù)學教師提出了更新、更高的要求,數(shù)學分析和其他一些高等數(shù)學的知識在其中發(fā)揮著更加突出的作用。如集合的拆分,組合計數(shù),遞歸數(shù)列,利用極限推證不等式,用介值定理求方程的近似解等。許多課外活動的數(shù)學問題,其內容有高等數(shù)學的背景,現(xiàn)代數(shù)學的觀點,有高等數(shù)學的思想方法,但其解法又是初等而又十分巧妙的，文章是對數(shù)學分析課程在中學數(shù)學教學中的應用作簡要探討。
1微分學原理、方法在中學數(shù)學中的應用
在中學數(shù)學中,要作出函數(shù)的圖形,除了利用極易判斷出來的函數(shù)的單調性以及可明顯看出的一些極值點等性質外,最主要的還是依靠描點法作函數(shù)的圖形，如此作出的圖形究竟是不是該函數(shù)的真正圖形是無法肯定的。而在數(shù)學分析中，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性、凹凸性,求出極值點和拐點,再利用極限求漸近線，就能精確地畫出函數(shù)的草圖,所以可用微分學原理和方法指導中學數(shù)學教學。
(1)討論函數(shù)的單調性中學數(shù)學討論函數(shù)的單調性一般只能根據(jù)定義,計算很繁瑣,對某些函數(shù)甚至無法判別,而根據(jù)微分學中嚴格單調的充分條件的定理“若/對乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),則函數(shù)f(X在(a,b內嚴格增加或嚴格減少)�！眲t可使解法簡化,并能使問題得以深化和拓展。
(2證明不等式。不等式在中學數(shù)學中占據(jù)著重要地位,這體現(xiàn)于它在解方程（如解不定方程、三角方程、對數(shù)方程等)和有關函數(shù)的問題、三角證明題、極值、條件極值、幾何證明題等諸方面的應用。不等式的證明方法多種多樣,沒有一個統(tǒng)一的模式。初等數(shù)學常用的方法是恒等變形、數(shù)學歸納法、利用二次型、使用重要不等式,其中進行巧妙的恒等變形,形成非負的項或者湊成可利用的重要不等式洳Vb等)是極有生命力和創(chuàng)造力的方法,但這里往往要有較高的技巧。利用微分中值定理、函數(shù)的單調性、定積分的性質等有關知識,可使不等式的證明過程大大簡化。
2積分法原理和方法在中學數(shù)學中的應用
積分學是由不定積分和定積分兩部分組成，不定積分是從逆運算的角度把積分看作微分的逆運算而定義的。而定積分是從極限的角度把定積分看作是特殊類型的極限加以定義的,這兩類積分從定義形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微積分基本定理揭示了它們的內在聯(lián)系，使得求一個和式極限這個相當困難的定積分問題轉化為通過求不定積分來加以解決,從而使兩者成為不可分割的整體,在理論和應用上取得了長足的發(fā)展。單從數(shù)學分析來看,定積分不僅對求面積、弧長、體積、近似計算等問題十分有用,而且與數(shù)學分析的另-組成部分--級數(shù)之間建立了聯(lián)系。
定積分除具有具體應用的優(yōu)勢外，更具有方法上的指導意義。在中學數(shù)學中，對一些規(guī)則平面圖形或空間立體的`面積、體積和表面積給出計算的公式,但其中相當一部分公式無法給出推導的方法，在研究體積計算問題時常用的一個重要定理--祖暅定理也只能當作公理介紹，并由它以及長方體的體積公式推出柱、錐、臺、球等體積公式。而在數(shù)學分析中,有關面積、體積的計算完全可利用積分或重積分精確地計算出來,祖WS定理、柱、錐、臺、球等體積公式只須用定積分的定義便可簡捷地給出證明。中學數(shù)學教師有了數(shù)學分析作為工具,在遇到有關面積、體積的計算問題時,可先用數(shù)學分析的方法求出解答,這為選擇適當?shù)慕虒W方法指明了方向。
3級數(shù)理論在中學數(shù)學中的應用
級數(shù)理論同樣是數(shù)學分析中的一個重要內容，利用函數(shù)的級數(shù)展開式可進行近似計算，中學數(shù)學用表中的三角函數(shù)表、常用對數(shù)表等均是利用級數(shù)理論求出其近似值來制作。中學教師具備了這些知識后，在日常教學中就不但能教學生如何查表,還可說明造表的理論依據(jù),激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。另外,還可用于講一些常數(shù)如數(shù)e,數(shù)+)的超越性等,為開展中學數(shù)學課外活動提供素材。
總之,利用數(shù)學分析的原理和方法,可以改變我們對一些問題的思維方式,拓寬我們的解題思路。中學數(shù)學教師在講授上述內容時,可先用數(shù)學分析的方法求出答案,做到心中有數(shù),然后再根據(jù)中學數(shù)學知識,結合學生的實際情況,設計出既不違反科學,又利于后續(xù)課程學習,并且最易為學生接受的最佳教學方案,這樣必能收到理想的教學效果。
把數(shù)學分析的思想、方法、知識應用于解決中學數(shù)學問題上,能起到以簡馭繁的作用,尤其是在不等式與恒等式的證明、求函數(shù)極值與切線及單調區(qū)間、方程根的討論、研究函數(shù)的性態(tài)與作圖以及解決實際問題等方便,不僅可以簡化解法,而且能使問題的研究更為深入、全面。然而,文章對此研究的并不完善,仍有繼續(xù)研究的空間。
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