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高中數(shù)列公式總結

時間:2021-12-07 10:09:30 總結 我要投稿
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高中數(shù)列公式總結

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高中數(shù)列公式總結

  等比數(shù)列公式性質知識點

  1.等比數(shù)列的有關概念

  (1)定義:

  如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達式為an+1/an=q(n∈N_,q為非零常數(shù)).

  (2)等比中項:

  如果a、G、b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項a,G,b成等比數(shù)列G2=ab.

  2.等比數(shù)列的有關公式

  (1)通項公式:an=a1qn-1.

  3.等比數(shù)列{an}的常用性質

  (1)在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N_),則am·an=ap·aq=a.

  特別地,a1an=a2an-1=a3an-2=….

  (2)在公比為q的等比數(shù)列{an}中,數(shù)列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比數(shù)列,公比為qk;數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比數(shù)列(此時q≠-1);an=amqn-m.

  4.等比數(shù)列的特征

  (1)從等比數(shù)列的定義看,等比數(shù)列的任意項都是非零的,公比q也是非零常數(shù).

  (2)由an+1=qan,q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列,還要驗證a1≠0.

  5.等比數(shù)列的前n項和Sn

  (1)等比數(shù)列的前n項和Sn是用錯位相減法求得的,注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運用.

  (2)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形導致解題失誤.

  等比數(shù)列知識點

  1.等比中項

  如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項。

  有關系:

  注:兩個非零同號的實數(shù)的等比中項有兩個,它們互為相反數(shù),所以G2=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。

  2.等比數(shù)列通項公式

  an=a1_q’(n-1)(其中首項是a1,公比是q)

  an=Sn-S(n-1)(n≥2)

  前n項和

  當q≠1時,等比數(shù)列的前n項和的公式為

  Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)

  當q=1時,等比數(shù)列的前n項和的公式為

  Sn=na1

  3.等比數(shù)列前n項和與通項的關系

  an=a1=s1(n=1)

  an=sn-s(n-1)(n≥2)

  4.等比數(shù)列性質

  (1)若m、n、p、q∈N_,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq;

  (2)在等比數(shù)列中,依次每k項之和仍成等比數(shù)列。

  (3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

  (4)等比中項:q、r、p成等比數(shù)列,則aq·ap=ar2,ar則為ap,aq等比中項。

  記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

  另外,一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底指數(shù)冪后構成一個等差數(shù)列;反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構造冪Can,則是等比數(shù)列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構”的。

  (5)等比數(shù)列前n項之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

  (6)任意兩項am,an的關系為an=am·q’(n-m)

  (7)在等比數(shù)列中,首項a1與公比q都不為零。

  注意:上述公式中a’n表示a的n次方。

  等比數(shù)列知識點總結

  等比數(shù)列:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。

  1:等比數(shù)列通項公式:an=a1_q^(n-1);推廣式:an=am·q^(n-m);

  2:等比數(shù)列求和公式:等比求和:Sn=a1+a2+a3+.......+an

 、佼攓≠1時,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

 、诋攓=1時,Sn=n×a1(q=1)記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

  3:等比中項:aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項。

  4:性質:

  ①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,則am·an=ap_aq;

 、谠诘缺葦(shù)列中,依次每k項之和仍成等比數(shù)列.

  例題:設ak,al,am,an是等比數(shù)列中的第k、l、m、n項,若k+l=m+n,求證:ak_al=am_an

  證明:設等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,則ak=a1·q^(k-1),al=a1·q^(l-1),am=a1·q^(m-1),an=a1·q^(n-1)

  所以:ak_al=a^2_q^(k+l-2),am_an=a^2_q(m+n-2),故:ak_al=am_an

  說明:這個例題是等比數(shù)列的一個重要性質,它在解題中常常會用到。它說明等比數(shù)列中距離兩端(首末兩項)距離等遠的兩項的乘積等于首末兩項的乘積,即:a(1+k)·a(n-k)=a1·an

  對于等差數(shù)列,同樣有:在等差數(shù)列中,距離兩端等這的兩項之和等于首末兩項之和。即:a(1+k)+a(n-k)=a1+an

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